Matemaatika ülesanne 9 lk 5 vastused 4*15+20=80 240:4*5=300 15*(8:2)=60 50-123:3=9 125*2:10=25 160:(12-8)=40 40-12+20=48 520-(34+16)=470 (17+15)-19=13 5*8+4*7=68 (39-18)*30=630 38+(42-9)=71
ARVUDE NIMED LIITMISEL: ARVUDE NIMED LIITMISEL: 7 + 6 = 13 7 + 6 = 13 LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. SUMMA on liitmise tulemus. SUMMA on liitmise tulemus. ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: 14 - 6 = 8 14 - 6 = 8 VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE
Seega ei ole loomulik, et vastuses on 10 tüvenumbrit. Sellise olukorra vältimiseks on kokku lepitud, et ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. Näide: 4,67 · 0,4356 = 2,034252 2,03 Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. Näide: 23,4 + 123 = 146,4 146 (sest teine liidetav on antud üheliste täpsusega) 234,34 209,345 = 24,995 25,00 (sest teine liidetav on ühe sajandiku täpsusega) 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 (sest esimene liidetav on antud üheliste täpsusega) Kui andmete hulgas on ka täpseid arve, siis me neid lõppvastuse tüvenumbrite arvu määramisel arvesse ei võta. [2 lk 50] Ligikaudse arvutamise reegel ei kehti, kui vaadeldavas tehtes (liitmises-lahutamises või korrutamises-jagamises) osaleb rohkem kui neli ligikaudset arvu. [1 lk 39]
Tema moodul võrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korral on ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmne analoogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga). d = . (2.26) dt Võrrandi (2.26) paremal pool teine liidetav sisaldab vektori r tuletist aja järgi, mis valemi (1.3) põhjal on pöörleva punkti kiirusvektor v . Võtame veel arvesse valemit (2.24), siis saame pöörleva keha punkti kiirendusvektori jaoks järgmise avaldise: a = × r + × ( × r ) . (2.27) Esimene liidetav paremal pool on tingitud punkti kiirusvektori mooduli muutumisest, seega on
üksikute F-de poolt põhjustatud a-de geom Iy=Iy+m*d² ruudu poolkorrutist. summaga a=ai, R=Fi Hygens-Steineri teor:keha inertsimoment mingi dA=F*dr=m*(dv/dt)*dr=m*dv*(dr/dt)=m*v*dv Dün 2 põhiül põhinevad dün põhis-l telje suhtes võrdub summaga, milles üks liidetav A=m*v²/2 T=m*v²/2 (m*a=Fi):1.On antud punktmassi T=m*v²/2=2*m*v*a/2= F*v=N
ristkoordinaati joone väärtus ja liita sellele juurdekasv- juurdekasv näitab kui palju on punkt kõrgemal lähimast lõunapoolsest võrgu joonest. Y koordinaadi leidmiseks tuleb lähima läänepoolse ristkoordinaadi joone väärtus ja liita sellele juurdekasv. Näiteks X1: 6610+3,250=6613,25 Geodeetiliste kordinaatide leidmiseks tuleb punktist lõuna pool asuva lähima paralleeli laiusele ja lääne pool asuva lähima meridiaani pikkusele liidetav juurdekasv. Kaardile tuleb tõmmata minutilõikude punaste ristide järgi jooned ning tõmmata nende järgi punktidesse ristsirged- ristsirge pealt saab punkti kauguse.60’’=3,7 cm . Näiteks B1: 59o35’+(11,2*60/3,7)=59o38’2’’ Ülesanne 2 Eesmärk: Lahendada geodeetiline pöördülesanne ja võrrelda arvutatud joonepikkusi laboratoorses töös nr.1 mõõdetud joonepikkustega. Tabel 2. Mõõdetud ja arvutatud joonepikkuste võrdlus
4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu), viimane liidetav jääb nii nagu antud 6.Astmete korrutamine - ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendatakse alus antud astendajate summaga = = 7.Üksliikmete korrutamine - kasutatakse võrdsete alustega astmete korrutamise eeskirja, = kusjuures enne tuleb tegurid sobivalt järjestada
Puurmani Gümnaasium Kertu Vahtra KVANTARUD JA PAULI KEELUPRINTSIIP Referaat Juhendaja: Andres Juur Puurmani 2010 1 SISUKORD Sissejuhatus.....................................................................3 1. Kvantarvud...................................................................4 1.1 Kvantarvu diskreetsus..............................................4 1.2 Süsteemi aditiivne kvantarv.......................................4 1.3 Elektroni kvantseisund.............................................4 2. Pauli keeluprintsiip ehk tõrjutusprintsiip................................5 2.1 Pauli keeluprintsiip.................................................5 2.2 Veidrus mikromaailmast...........................................5 2.3 Üldine väide keelupri...
2 2 I = ax + a y i x i i y i i i 2 i + y i2 . i =1 i =1 i =1 i =1 Esimene liidetav on ma 2 , kus m on selle keha kogumass. Viimane liidetav on valemi (6.25) põhjal keha inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes. Näitame, et teine ja kolmas liidetav võrduvad nulliga. n Kolmandas liidetavas summa m x i =1
kui mitu on neid vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. Näiteks : Alfred läbis võistlustel staadioniringi (400m) 77 sekundiga. Leides Alfredo keskmist kiirust jagame 400 : 77 = 5,194805...m/s Seega kuna lähteandmetes on vähima tüvenumbrite arvuga 77, siis ümardame keskmise kiiruse 2 tüvenumbrini , 5,194805... 5,2 m/s. Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on Lähteandmetes teada. Näiteks : 1999 + 2,989 = 2001,989 2002, sest esimene liidetav on antud üheliste täpsusega. Kui andmete hulgas on ka täpseid arve, siis neid lõppvastuse tüvenumbrite määramisel arvesse ei võeta. Näiteks : Peedu pidi tassima 150 kasti õunu ühest laost teise. Mitu kilo vedas Peedu kuu aja jooksul ( 22 tööpäeva ) banaane ühest laost teise, kui ühes kastis on 20kg banaane ? Selles ülesandes on 150 ja 22 täpsed arvud, arv 20 ligikaudne arv. 150 * 22 * 20 = 66 000 70 000 (kg) 5. Ligikaudsed arvud mitme tehtega ülesannetes.
Ülesanne 6. Leida funktsiooni y = log 3 ( - x ) + määramispiirkond. x-7 Lahendus. See funktsioon on määratud, kui esimeses liidetavas olev logaritmitav on positiivne ehk siis - x > 0 või kui korrutame seda võrratust ( -1) -ga ja muudame võrratuse märki: -x > 0 ( -1) , siis saame x<0. Teine liidetav on murd, murru nimetajas oleva ruutjuure alune avaldis peab olema rangelt positiivne (ei saa olla võrdne nulliga): x-7 > 0 x>7. Ülesandes antud funktsiooni y määramispiirkond on mõlema liidetava määramispiirkonna ühisosa: Jooniselt näeme, et ühisosa ei olegi, seega ülesandes antud avaldis ei määra funktsiooni.
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d ............................................ an = an-1 + d = .............a1 + (n-1) d an = a1 + (n-1)d Jada vahe
Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1 = 5 d=3 n=6 Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub,et a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d ............................................ an = an-1 + d = .............a1 + (n-1) d an = a1 + (n-1)d Jada vahe
kuni 21. väiteni tõestab Archimedes, et iga väikse kolmnurga pindala on üks kaheksandik suurema kolmnurga pindalast. Kaasaegsest 8 vaatenurgast võetuna on see sellepärast, et väiksema kolmnurga kõrgus on neljandik ja laius pool suurema kolmnurga omast. Välistamise meetodil selgub, et segmendi pindala valem on järgmine: Siin tähistab T suure kolmnurga pindala, järgmine liidetav kahe väiksema kolmnurga kogupindala, järgmine nelja väiksema kolmnurga kogupindala jne. See taandub järgmiseks Et tõestus lõpetada, näitab Archimedes, et Vasakul pool võrdust on geomeetriline jada, iga järgmine liidetav on eelmisest üks neljandik. Kaasaegses matemaatikas on see valem erijuht geomeetrilise jada summa valemist. Archimedes hindab summa väärtuse paremal pool asuva pildi abiga. See näitab ühikruutu, mis on jagatud lõpmatuks hulgaks
y = lim 69. Lähtume funktsiooni y = f ( x ) tuletise definitsioonist. x 0 x . y = y + 70. See tähendab, et x , kus on lõpmata väike suurus. 71. Avaldame funktsiooni muudu y = yx + x 72. Kui x 0 , siis kõik kolm liiget valemis on lõpmata väikesed suurused. 73. Kuid esimene liidetav yx moodustab funktsiooni muudu olulisema osa. 74. Funktsiooni muudu peaosa nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse dy st dy = yx 75. Kui y = x , siis y = x = 1 ja dy = dx = 1 x = x . 76. Seega dx x ja dy = y dx . 77. Võrdused defineerivad argumendi ja funktsiooni diferentsiaali: Argumendi diferentsiaaliks nimetatakse argumendi suvalist muutu. Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist.
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID
moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe. Tehete järjekord keerulisema avaldise väärtuse arvutamisel: 1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad tehted; 2)Korrutatakse ja jagatakse avaldises antud järjekorras; 3)Liidetakse ja lahutatakse avaldises antud järjekorras. arvud 0, 1, 2, 3, ...
komponendilt teisele Liidetavad detailid paiknevad Katteliide ühes ja samas tasapinnas Tugevtiheliited Katteliited · Jõ Jõudude d d ülekandmine ül k d i ühelt üh lt komponendilt teisele; Üks liidetav detail katab mingis · Hermeetilisuse tagamine ulatuses teist Vastakliide Keevitatud gaasiballoon V t kliit d Vastakliited Ühe detaili serv on liidetud teise detaili küljega
= 1 2 3 ... (n - 1) n tükki. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide hulka tähistatakse S n . Olgu substitutsioonist i1 , i2 ,..., in valitud kaks arvu ik ja il selles järjekorras, nagu nad seal seisavad, s.t. k < l ehk i1 ,..., ik ,..., il ,..., in . Kui ik > il , siis öeldakse, et paar ik , il moodustab inversiooni vaadeldavas substitutsioonis. Maatriksi A determinandiks nimetatakse summat kus iga n-järku substitutsiooni ( i1 , i2 ,..., in , ) jaoks on üks liidetav. Kui summas on n! liidetavat, liidetavas arvu -1 aste on korrutise a1i1 a 2 i2 ...a nin märgi määramiseks. Summat tähistatkse veel ja seda nimetatakse ka n-ndat järku determinandiks. 3. Determinantide 10 omadust. Omadus 1. Maatriksite A ja AT determinantide väärtused langevad kokku, s.t. determinandi D väärtus ei muutu, kui tema read paigutada vastavateks veergudeks ja vastupidi. Omadus 2.Kui determinandil
tipuga; e<0, sel juhul jaotuvad vaatlused ühtlaselt kogu jaotuse ulatuses ja jaotus on platookujuline. Jaotuse märkimisväärsest erinevusest normaaljaotusest on mõtet rääkida siis, kui kordaja on absoluutväärtuselt 1-st suurem. Praks 4 Keskmise võrdlemine konstandiga. Kahe grupi dispersioonide ja keskmiste võrdlemine, F- ja t-test. kas maaülikooli esimese kursuse neidude keskmine pikkus erineb Eesti standardist (Eesti naiste keskmine pikkus on 168 cm)? Arvutage liidetav neidude keskmise pikkuse 95% usaldusintervalli leidmiseks (so pool usaldusintervalli laiust) ja tehke seda kahel viisil: a) funktsiooni CONFIDENCE.NORM abil (sellele funktsioonile tuleb ette anda 3 argumenti: olulisuse nivoo , neidude pikkuste standardhälve ja neidude arv; Array1 - esimese valimi andmete blokk; Array2 - teise valimi andmete blokk (mõlemad ilma tunnuse nimeta); Tails - hüpoteesi tüüp (1 - ühepoolne (kui on olemas eelinformatsioon muutuste suuna kohta: H 0:µRµH,
faasiga siinuste lineaarne kombinatsioon. Woldi müra korrelatsioonimaatriksite summa: periodogrammid. Seejärel arvutatakse keskmine dekompositsioonis on see joonspektriga liidetav x . võimsuse spektraaltiheduse hinnang. Paljude J Kui LTI tüüpi filter on määratud tema impulsskajaga, mis eksisteerib kui on täidetud Dirichlet' tingimused. segmentide kasutamine vähendab hinnangu Selle maatriksi saab omaväärtuslahutuse abil viia
teisi mõjutavaid kehasid ärgu olgu 218. Punkti dünaamika põhivõrrand 219. F + ( - ma ) = 0 F = m a Keha 2 mõju osakesele 1 avaldub jõuna ja selle tagajärjel hakkab osake liikuma kiirendusega , mis mõjub jõuga ühes ja samas suunas 220. 221. kg m [ N ] = kg m 222. s 2 s 2 Liikmete dimensioon 223. Esimene liidetav on jõud 224. ( - ma) Nüüd teine liidetav 225. Teisel liikmel sisuliselt ka jõu dimensioon 226. Masspunkti m inertsjõu 227. Kui niisugune jõud mõjuks vaadeldavale masspunktile 1, siis sellele osakesele rakendatud jõud oleksid tasakaalus 228. F + = 0 = -m a F + - m a ) = 0 Tähistame vektori tähega ( 229. 230.
tasapinnas. Vektor M on risti selle tasapinnaga. Vektor M on aksiaalvektor. vt. lk. Jõupaariks nimetatakse kahte suuruselt võrdset ning suunalt vastupidist jõudu , mille mõjusirged ei ühti. Jõupaarimoment on risti jõudude mõjusirgetega määratud tasapinnaga ning arvuliselt võrdne jõu mooduli ja jõupaari õla korrutisega. M=Fl vt.lk. Ainepunktide süsteemi (keha) inertsmomendiks telje z suhtes nimetatakse summat , mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruu- duga pöörlemisteljest z . Iz = m r 2 14 JÕUMOMENT. Fr ja F M = [r F] = [ r ,(Fr + F)] = = [ r Fr ] + [ r F ] kuna [ r Fr ] = 0 , siis M = [ r F ]
Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1
2a r = v 2 - v 02 , mida keha massiga läbi korrutades saab viia kujule mv 2 mv02 ma r = Fres r = - . 2 2 Valemi vasakul pool on vastavalt valemile (5.18) kehale mõjuva resultantjõu töö nihkel r . Paremal pool esimene liidetav on keha kineetiline energia pärast nihke r sooritamist, teine liidetav kineetiline energia enne seda. Seega kehtib tõepoolest A( Fres ) = E k - E k 0 . (5.24) Potentsiaalseks energiaks nimetatakse niisugust energiat, mida keha omab oma asendi tõttu teiste kehade suhtes (näit. ülestõstetud raskus, pingutatud vedru jne.). Võrdub arvuliselt tööga, mis kulub keha viimiseks sellisesse asendisse.
Inertsimoment aditiivne suurus, st keha inertsimoment on võrdne tema osade mR 2 inertsimomendtide summaga. Inertsimomenti leitakse valemiga I = . Antud valem 2 kehtib ainult homogeense ja sümmeetrilise keha puhul. Steineri teoreem- inertsimoment I mingi suvaliselt valitud telje suhtes võrdub summaga, milles üks liidetav on inertsimoment I0 telje suhtes, mis on parall antud teljega ning läbi keha inertsikeset, teiseks liidetavaks on keha massi m korrutis telgedevahelise kauguse a ruuduga I=I0+ma2. Leiti inertsimomendi avaldised mõningate kehade jaoks- 1)keha on pikk varras, ristlõike joonmõõt on palju väiksem varda pikkusest l, siis I=ml2/12. 2) Kettal või silindril mille puhul suhe R/l on suvaline I=mR2/2. 3) Kehaks on õhukene ketas, mille paksus on palju kordi väikse raadiusest I=mR2/4.
nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2
1x + 2 y + 3z x y z x y z lim = lim 1 + 2 + 3 = lim 1 + lim + lim =0 0 0 0 0 0 x y z kus 1, 1, 1 (tõkestatud suurused). 1x+2y+3z on kõrgemat järku l.k.s. kui Def: Kui f-ni täismuut avaldub kujul * (kahe liidetava summana) millest esimene on lineaarne x, y ja z suhtes ja teine liidetav on kõrgemat järku l.k.s. x, y, z suhtes siis seda esimest liidetavat nim kolme muutuja f-ni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d=/xx+/yy+/zz. Kui =x siis /x=1; /y=0; /z=0 ja dx=1x+0y+0z=x Sõltumatu muutuja x suhtes langevad täisdif ja x-muut kokku. =y(x) ning seega dy(z)=y(z) d=/ xdx+/ ydy+/ zdz. Kui z=(x; y) siis dz=z/xdx+z/ydy. Nüüd kirjutada avaldise * kahe muutuja f-ni jaoks z=z/xx+z/yy+1x+2y; 1x+2y=0
tõmmatud raadiusvektor. Punkt O , jõud F ja r on ühes tasapinnas. Vektor M on risti selle tasapinnaga. Vektor M on aksiaalvektor. Jõupaariks nimetatakse kahte suuruselt võrdset ning suunalt vastupidist jõudu , mille mõjusirged ei ühti. Jõupaarimoment on risti jõudude mõjusirgetega määratud tasapinnaga ning arvuliselt võrdne jõu mooduli ja jõupaari õla korrutisega. M=Fl Ainepunktide süsteemi (keha) inertsmomendiks telje z suhtes nimetatakse summat , mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z . Iz = ∑m r2 3.2.1.Jôumoment.Impulssmoment.Inertsimoment. → → → M = r × Fτ Fτ Jôumoment - , kus r – jõuõlg, - jõu tangensiaalkomponent Impulssmoment – → → → → → L =[ r p ]=m[ r v ] r - impulssi õlg p - jõuimpulss dL /dt = M
Kleini mudel-Kleini peamine mudel koosneb kolmest struktuursest võrrandist e. Käitumisvõrrandist ja kolmest makromajanduslikku tasakaalu kirjeldavast samasusest e. seosevõrrandist.Struktuursed võrrandid on tarbimisvõrrand, investeeringute võrrand ja erasektori palgavõrrand.Tarbimisvörrand -;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;. .Wp -; erasektori palgad Wg - riigisektori palgad P -; kasum Pt-1 - eelmise perioodi kasum -;-;-; juhuslik liidetav Investeeringute võrrand -;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;. .K -; kapital -;.. -; juhuslik liidetav(komponent) Erasektori palgavõrrand -;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;-;. .X -; rahvatulu T -; maksud t- ajategur Xt-1 -; eelmise perioodi rahvatulu Tt-1 -; eelmise perioodi maksud Wg,t-1 -; eelmise perioodi riigisektori palgad -;3 -; juhuslik liidetav (komponent) Maktomajanduslikku tasakaalu kirjeldavad seosevõrrandid
puhul. NB! Leitakse nii mitu kordajat, kui mitu erinevat reaalset juurt on nimetajal Qm(x). Ülejäänud leitakse määramata kordajate meetodil. 4. INTEGREERIDA algmurrud: a) teguritele (x-a)k ( k1) vastavate algmurdude puhul asendada z = x-a; b) (Bx+C)/(x2+px+q)dx: 10. Valitakse t = x2+px+q dt = (2x+p) dx. 20. Avaldatakse Bx+C avaldise 2x+p kaudu. 30. Tekib K (2x+p)/(x2+px+q)dx = K ln x2+px+q. 40. Liidetav L(x2+px+q)-1dx määrab kindla kordaja ja argumendiga arctan-funktsiooni. Nende määramiseks on vaja teisendada avaldist x2+px+q z2+1. Alustada tuleb TÄISRUUDU ERALDAMISEST ruutkolmliikmes. c) Integraalid (Bix+Ci)/ (x2+px+q)idx taandatakse eelmisele juhule. 12 MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTAMINE NEWTON LEIBNIZI VALEM: b b f(x)dx = F(x)= F(b) F(a); F´(x) = f(x).
energia Ep=mgh Kineetiline energia-võrdub tööga , mida tuleb teha, et panna keha massiga m liikuma kiirusega v. A= mvdv=mv2/2=Ek 9. Jõumoment- antud punkti O suhtes nim vektorilist suurust M, mille määrab avaldis M=rF, kus r on punkti O jõu rakenduspunkti tõmmatud raadiusvektor. Vektor M on risti tasapinnaga kus asuvad o ja r. Vektor M on aksiaalvektor. 10. inertsmoment-ainepunktide süsteemi ( keha) inertsimomendiks z telje suhtes nim summat, mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z. 11. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand Moment telje z suhtes võrdub keha inertsimomendi ja nurkkiirenduse korrutisega. Pöörleva keha energia- 12. Harmooniline võnkumine- on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat x muutub ajas siinus (v cos) funktsiooni järgi. Harmooniliselt
1. Joonistage geoloogilist ringet ning kirjeldage lühidalt selles toimuvaid protsesse. 2. Mis on mineraal ning mis on kivim? Maakoor koosneb kivimitest. Kivimeid moodustavad mineraalid. Mineraalideks nimetatakse looduslike füüsikalis-keemiliste protsesside mõjul tekkinud tahkeid keemilisi ühendeid või ehedaid elemente. Neid iseloomustab kindel või kindlates piirides muutuv keemiline koostis ja füüsikalised omadused. Kuigi mineraalide hulk ulatub 3000-ni, on nendest ainult umbes 50 mitmesuguste kivimite koostises laialdasema levikuga. 3. Nimetage peamised kivimitüübid ning nende päritolu. Sõltuvalt kivimi teket põhjustanud teguritest eristatakse kolme kivimirühma tardkivimeid, settekivimeid ja moondekivimeid. Kolm kivimirühma erinevad üksteist mitte ainult tekkeviisilt, vaid enamasti ka mineraalselt koostiselt, struktuurilt ja tekstuurilt. Moondekivim on kõrge rõhu ja temperatuuri tingimustes ümberkristalliseerunud ehk moondunu...
pöördliikumises.Jõumoment on suurus, mis on jõu ja selle rakenduspunkti ning teljevahelise kauguse korrutis . M=FI M=I Momendi vektor on aksiaalvektor. Jõupaariks nim kahte suuruselt võrdset ja suunalt vastupidist jõudu,millede mõjusirged ei ühti.Jõupaarimoment on risti jõu mõjusirgetega ning arvuliselt võrdne jõupaari õla ja mooduli korrutisega. Ainepunktide süsteemi (keha) inertsmomendiks telje z suhtes nim summat,millega iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z. 10.Impulsimoment.Inertsimoment-Impmom on inmom ja nurkkiiruse korrutis L=I·. Inertsmom on suurus ,mis arvestab massi jaotumist kehas.I=m i2·ri2 Kui inmom ei läbi keha raskuskeset arv see Steineri lause abil: I=I0+ml2 ,kus I0-inmom telje suhtes;m-mass;l-keha inmom-te telgede vaheline kaugus. 11.Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand- =M/I -pöördliikumine a=F/m -kulgliikumine
Tema moodul võrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korral on ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmne analoogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga). r r dω ε = . (2.26) dt r Võrrandi (2.26) paremal pool teine liidetav sisaldab vektori r tuletist aja järgi, mis valemi r (1.3) põhjal on pöörleva punkti kiirusvektor v . Võtame veel arvesse valemit (2.24), siis saame pöörleva keha punkti kiirendusvektori jaoks järgmise avaldise: r r r r r r a = ε × r + ω × (ω × r ) . (2.27) Esimene liidetav paremal pool on tingitud punkti kiirusvektori mooduli muutumisest, seega
Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3
järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: (d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x). Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu 28Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida
Järelikult vaadates vee jaotumist dušisõelas me näeme, et kui vesi tuleb torust ühtlase joana, siis enne dušisõelast väljumist jagatakse vesi kõikides suundades ühtlaselt kuna eelistatud suunad puuduvad. Seega ei toimu vee eelistatud liikumist keskmistest aukudest vaid kõikidest aukudest ühesuguse kiirusega. 77. Selgita Bernoulli võrrandi liikmete geomeetrilist tähendust. z-vedeliku asendienergia, mis on potentsiaalse energia üheks vormiks; Liidetav p/ρg väljendab rõhust tingitud energiat, mis on potentsiaalse energia teiseks vormiks. Liidetv U²/2g on vedelikuosakese kineetiline energia. Need kolm võrrandiliiget kokku annavad täissurve H ehk erienergia E. p U² H=E=z+ + ρg 2 g 78. Selgita Bernoulli võrrandi liikmete energeetilist tähendust. p Voolu potentsiaalse erienergia Ekin=z + muutumist piki voolu kirjeldab survejoon ehk
∆y ∆y Avaldame võrdusest . = f ' ( a )+ r ( ∆ x ) ∥∙ ∆ x ∆x ∆x ∆ y =f ' ( a ) ∆ x + β , kus β=r ( ∆ x ) ( ∆ x ) Funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast: f′(a)∆x ja β. Esimene liidetav f′(a)∆x sõltub lineaarselt argumendi muudust ∆x. Suurust f′(a)∆x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a ja tähistatakse dy või df. Seega ∆y = dy + β . 12. Mida nimetatakse funktsiooni argumendi diferentsiaaliks? Näidata, et argumendi x korral kehtib valem Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx = dx . Vastavalt diferentsiaali definitsioonile, dy = f′(a)∆x . Tähistame funktsiooni y = x
on naturaalarv parajasti siis, kui ta on positiivne täisarv 15.Vastuväiteline tõestusviis - aluseks Ül.668 loogikaseadus: iga väite korral on tõene Tõesta vastuväiteliselt, et kui kahe kas väide ise või selle eitus, kolmandat naturaalarvu summa on paaritu arv, siis on võimalust ei ole. üks liidetav paarisarv ja teine paaritu arv. NB kasutatakse teoreemide tõestamisel Eeldus: kaks naturaalarvu, mille summa on paaritu arv Väide: üks arv on paarisarv ja teine paaritu arv Tõestus: 1)väidan, et mõlemad on paaris (või
Materjali õpetus Sularaua ühinemisel süsinikuga saadaksegi malm. Kõrgahju protsessi juhtimisega saadakse, kas toormalm (valgemalm) või valumalm (hallmalm). Valgemalm On väga kulumis kindel äärmiselt kõva ja mehaaniliselt raskesti töödeldav. Murde pind on hele, valu omadused on viletsad, detaile valmistatakse äärmiselt harva. Kasutatakse lähtematerjalina tempelmalmi saamiseks. Hallmalm Halli murde pinnaga, tugev, kulumis kindel, hästi töödeldav, hästi valatav, puuduseks on haprus ja vähene vastupidavus löök koormustele. Kasutatakse mootoribloki, kered, rihmarattad valmistamiseks. Tempelmalm Mehaaniliste omaduste poolest hallmalmi ja terase vahepealne. Tugev kannatab hästi löök koormusi on korrosiooni kindel, terasest odavam. Valmistatakse hammasrattaid, tagasillad, ketilülid jne....
1. Ainepunkti kinemaatika a. Ainepunkti kiirus b. Ainepunkti kiirendus c. Ringliikumine. Nurkkiirus ja –kiirendus d. Pöörlemist kirjeldavate suuruste vektoriseloom e. Tahke keha kulgev ja pöörlev liikumine A)Ainepunkti kiirus Kõige lihtsam mehaaniline liikumine on ainepunkti liikumine. Mõõtmed ja kuju võib jätta arvestamata tema liikumise kirjeldamisel. Kas lihtsustus on õigustatud või mitte, see oleneb liikumisülesandest. Näiteks Maad võib liikumisel ümber Päikese vaadelda ainepunktina, kuid pöörlemisel ümber oma telje mitte. B)Ainepunkti kiirendus Kiirenduseks nimetatakse kiiruse muutumise kiirust. Sellest definitsioonist järgneb, et kiirendus arvutud analoogiliselt kiirusega – tuletise abil. Kiiruse puhul � = lim ∆�→0 ∆� ∆� = �� �� = � = � ′ leidsime tuletise kohavektorist aja järgi ja saime selle muutumise kiiruse ehk lihtsalt kiiruse. Võttes tuletise kiirusest, saame kiiruse muutumise kiiruse � = lim ∆�→0 ∆� ∆� = �� �� = ...
ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus ∆x suhtes. Järelikult väikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4
a 2 k = 1. (25.2) k =1 Olekufunktsiooni normeerimise tingimuse tõttu võime võrrandi (25.2) vasakut poolt 2 vaadelda tõenäosuste summana. Iga liidetav a k annab tõenäosuse funktsiooniga k kirjeldava oleku realiseerimiseks. Seepärast nimetatakse kordajaid ak tõenäosuse amplituudideks. Seda tulemust võime üldisemalt sõnastada järgmiselt: Kui mistahes normeeritud olekufunktsiooni arendame mõnesuguse operaatori täieliku ON-süsteemi moodustavate omafunktsioonide järgi ritta, siis on arenduse kordajateks vastava oleku esinemise tõenäosuse amplituudid.
Punkt O, jõud F ja r on ühes tasapinnas. Vektor M on risti selle tasapinnaga. Vektor M on aksiaalvektor. Jõupaar on 2 suuruselt võrdset ning suunalt vastupidist jõudu, mille mõjusirged ei ühti. Jõupaarimoment on risti jõudude mõjusirgetega määratud tasapinnaga ning arvuliselt võrdne jõu mooduli ja jõupaari õla korrutisega. M=FI Inertsimoment: Ainepunktide süsteemi (keha) inertsmomendiks telje z suhtes nimetatakse summat, mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z. Iz= (kreeka E)*m*r2 (Steineri lause):Inertsimoment sõltub keha massist ja massi jaotusest kehas. Inertsmoment (I) mingi suvalise telje suhtes võrdub summaga, milles üheks liidetavaks on inertsmoment (I) telje suhtes, mis on paralleelne antud teljega, ning läbib keha inertskeset (Raskuskeset) ja teiseks liidetavaks on keha massi (m) telgede vahelise kauguse ruuduga. I = I + ml2.
visuaalne haaramine (subitsing). ... MATEMAATILISED OSKUSED II Loendama õppimine parandab tunduvalt laste võimet võrrelda objektide hulkasid. Õpivad lapsed arvutussüsteemi erinevaid aspekte lahus.... MATEMAATILISED OSKUSED III Liitmmine ja lahutamine: lihtsate liitumisülesannete lahendamisel on leitud 3 arengustaadiumi. Need on kõigei loendamine, juurde loendamine ja arvulise faktide meenutamine. Lihtsam strateegia on: iga liidetav esitatsõrmedel ja loendatakse kokku koguarv (loeb kokku kui palju sõrmi). Kuid seda on raske rakendada kui summa on rohkem kui 10. Seetõttu hakkavad lapsed juurde loendama, ikka kasutades oma sõrmi. Groen ja Parkman: algkoolilapsed loendavad juurde suuremale arvule – näiteks tehes 2+7 loendavad nad juurde 7-le, mitte kahele Algkooli lõpuks asendub kõvasti loendamine harilikult hääletu loendamisega. Hiljem asendub see meetod arvuliste faktide ammutamisega mälust,
Kirjutada vähemalt viie keha inertsmomendid. Rõngas: Iz = mr 2 mr 2 Silinder ja ümarplaat: Iz = 2 m( a + b 2 ) 2 Ristkülikplaat: Iz = 12 2 ml Vardal: Iz = 12 Koonus: Iz=0,3mr2 222. Sõnastada Huygensi teoreem. Valem. Keha või süsteemi inertsmoment suvalise telje suhtes on võrdne summaga, kus esimene liidetav on inertsmoment antud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes ja teine liidetav keha massi ja telgede vahelise kauguse ruudu korrutis. ml 2 Iz = + md 2 12 223. Mis on peainertsteljed? Mis on tsentraalpeainertsteljed? 224. Kuidas asetsevad peainertsteljed ühtlase ümarplaadi korral, kui see pöörleb ümber z-telje, mis läbib küll plaadi keskpunkti, kuid on kinnitatud plaadiga viltu (mitte risti)? 225
Kirjutada vähemalt viie keha inertsmomendid. Rõngas: Iz = mr 2 mr 2 Silinder ja ümarplaat: Iz = 2 m( a + b 2 ) 2 Ristkülikplaat: Iz = 12 2 ml Vardal: Iz = 12 Koonus: Iz=0,3mr2 222. Sõnastada Huygensi teoreem. Valem. Keha või süsteemi inertsmoment suvalise telje suhtes on võrdne summaga, kus esimene liidetav on inertsmoment antud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes ja teine liidetav keha massi ja telgede vahelise kauguse ruudu korrutis. ml 2 Iz = + md 2 12 223. Mis on peainertsteljed? Mis on tsentraalpeainertsteljed? 224. Kuidas asetsevad peainertsteljed ühtlase ümarplaadi korral, kui see pöörleb ümber z-telje, mis läbib küll plaadi keskpunkti, kuid on kinnitatud plaadiga viltu (mitte risti)? 225
samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED
samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
