mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) - f(a)]/(b a)=f'( ). T8. L'Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ja kui eksisteerib piirväärtus lim f'(x)/g'(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf '(x)/g'(x). Def4. Funktsiooni y=F(x) nimetatakse funktsiooni y = f (x ) algfunktsiooniks piirkonnas X , kui iga x X korral on täidetud tingimus F'(x) = f(x). Def5. Avaldist F(x) + C , kus y=F(x) on funktsiooni y=f(x) algfunktsioon piirkonnas X ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga f(x)dx. Seejuures, konstanti C nimetatakse integreerimiskonstandiks. T9
Eksam 1. Binoomkordajad 1.1 Tuletada valem binoomkordaja (n/m) väärtuse arvutamiseks. 1.2 Kasutaddes eelmises punktis tuletatud valemit tõestada, et binoomkordajate vahel kehtib võrdus (n/m) = (n-1/m)+ (n-1/m-1). 1.3 Eelmine võrdus avaldab bioomkordaja (n/m) kahe kahe binoomkordaja kaudu, mille ülemine indeks on n-1. Leida seos, mis avaldab binoomkordaja (n/m) niisuguste binoomkordajate kaudu, mille ülemine indeks on n-2. 2. Graafid 2.1 Def graaf 2.2 Tõestada, et igas graafis on paaritu astmega tippe paarisarv 2.3 Olgu G mingi n-tipuline graaf, milles on m paaritu astmega tippu. Teha kindlaks kui palju on paaritu astmega tippe graafi G täiendis ja kuidas nende arv sõltub graafi G tippude arvust. 2
f-ni määramispirkonnaks. + väärtuste piirkond - ? + tabel, fraafik, valem + loomulik määramisp-nd arfumendi kõigi nende väärtuste hulk, mille korral f-ni avaldis on täielikult määratud. + kui igale x väärtusele, mis kuulub teatavasse p-nda vastab mitte õks, vaid mitu või isegi lõpmatu hulk y väärtusi, siis nim. selle f-ni mitmeseks f-niks. 5. + Paaris f-n määramisp-nd X on sümmetriline nullpunkti suhtes, kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) + paaritu f-n määramisp-nd on sümmetriline koordinaatide nullpunkti suhtes, kui kehtib võrdus f(- x)=-f(x) + f-ni y=f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T0 tema perioodiks, kui xX korral ka xTX ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) + f-nide y=f(x) ja u=g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse f-ni y=f(g(x)). Komponendid f-nid f ja g. 6
A = ⎜ 0,25 + 1 ⎟ +5 0 ja B = ⎜⎜ − 0,25 ⎟⎟ . ⎝ 4⎠ ⎝ 36 ⎠ 2 3. Lihtsusta avaldis ⎛⎜ 2 − 2 ⎞⎟ + (− 3)2 ⎝ ⎠ 4. Selgita, missuguste m väärtuste korral kehtib võrdus ( m)2 = m2 . 5. Selgita, kas kehtib võrdus ( − 2 ) 2 = (− 2)2 . Miks? 6. Arvuta. Vastuses vabane negatiivsetest astendajatest. a) (3a −2 b 4 ) ⋅ (6a −1b 4 ) : b) 6 3 ⋅ 7 4 ⋅ (21−3 − 4 ⋅ 14 −4 ) −3 2 1
Funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni uurimine: X, Y, X0, X+, X-, X´, X`, Xe, Xmax, Xmin. Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x). Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x).
1.1 VÕRRAND. VÕRDUS. SAMASUS Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks on võrdused 5 + 3x = 33,5; 2 3 = 6 ; (a + b)(a b) = a2 b2; 3- 1= 2. Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille
ekstreemumkohaks.X min/ Xmax Funktsiooni väärtust, mille korral funktsiooni saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumiks. Ymin/Ymax Ekstreemumpunktiks nimetatakse funktsiooni graafiku punktiks, mille korral kordinaatideks on ekstreemumkoht ja ekstreemum. Emin/max(x, y) Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paaris funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=f(x) ja graafiks on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=-f(x) ja graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes.
Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi lahendamisel on kasutatud üksnes võrrandi samaväärsusteisendusi, siis kehtivad iga x väärtuse korral ka võrdused (**) ja (*). Seega on lahendiks iga reaalarv. Näide 3. Lahendame võrrandi 3(x + 1) = 3x + 2000. Avame sulud 3x + 3 = 3x + 2000, millest 3x 3x = 2000 3 ehk 0x= 1997. Viimane võrdus loomulikult ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku
Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju........................
Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju........................
ARVUDE NIMED LIITMISEL: ARVUDE NIMED LIITMISEL: 7 + 6 = 13 7 + 6 = 13 LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. SUMMA on liitmise tulemus. SUMMA on liitmise tulemus. ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: 14 - 6 = 8 14 - 6 = 8 VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VAHE on lahutamise tulemus. ...
väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes. f(x)=x3, sest (-x)3=-x3 f(x)=sinx, sest sin(-x)=-sinx f(x)=tanx, sest tan(-x)=-tanx 3. Funktsiooni piirväärtuse mõiste ja sümbol. Piirväärtuse 5 omadust
määramispiirkonnaga. 11.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) maksimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on suurem kui või võrdne f(x) 12.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) miinimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on väiksem kui või võrdne f(x) 13.Funkts y=f(x) nim. Paarisfunktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x) 14.Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. 15.Funkts y=f(x) nim. Paarituks funktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x) 16.Graafik on sümmeetriline koordninaatide alguspunkti suhtes.
2. Integraalide arvutamine. 3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y(n), st. kui F on mingi n + 2–muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame
28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33.Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga 34.Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. 35.Võrrandi lahend on võrrandist leitud tundmatu väärtus. 36.Osamäär näitab, kui suur osa tervikust tuleb leida või kui suur osa arvust on antud. 37.Protsent on suht arv, mis näitab kui palju üks suurus moodustab teisest. 38.Võrre on võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised.
MATANAAL 2.TEOORIA 22. INTEGRAALI KESKVÄÄRTUSTEOREEM Omadus 5 Kui funktsioon f ( x) on lõigul [ a , b] pidev, siis leidub sellel lõigul niisugune punkt , et kehtib võrdus b f (x )dx = a )f ( (b - ) a . (5) TÕESTUS f ( x) Vaatleme juhtu a < b . Kui m ja M on vastavalt funktsiooni vähimaks ja suurimaks väärtuseks löigul
Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Trigonomeetrilised funktsioonid
Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt
vigu olema ligikaudu võrdselt. Märgikriteeriumi testi tegemiseks peab esmalt loendama valimis olevad nullist suuremad ja väiksemad vead. Exceli's on selleks käsklus (COUNTIF). Praktikumis loendasime kui palju on valimis nullist suuremaid vigu. Tulemuseks saime suuruse k, mis ühes valimi mahuga n, annab meile võimaluse arvutada statistik R (R= |2 k-n| ). Teststatistikut R võrreldakse kriteeriumiga 2 n . Süstemaatiliste vigade mitteesinemisel kehtib võrdus R<2 n . Meie arvutuste tulemusena saime etteantud valimi põhjal otsitavatele suurustele järgnevad väärtused: k= 11; n=12; R=10; 2 n =6,9. Vastavalt võrdusele R<2 n näeme, et statistik R on etteantud kriteeriumist suurem. See tähendab seda, et meie valimis esineb süstemaatilisi vigu. Teiseks süstemaatiliste vigade olemasolu kontrolli kriteeriumiks on vigade keskmise nulli kriteerium, mis oma olemuselt tähendab seda, et kui vaadeldavas valimis esinevad
UUSVASAKPOOLSUS RASMUS AGO JA SILVER TAMME G3A MIS ON UUSVASAKPOOLSUS? • Radikaalne noorsooliikumine arenenud kapitalistlikes riikides • Tekkis 1960. aastate algul • Uusmarksism • Põhiseisukohad:nihilism,anarhism,stiihilisus • Vastandus „vanale vasakpoolsusele“ HERBERT MARCUSE • Vasakpoolsuse isa • Põhiseisukoht UUSVASAKPOOLSUS EESTIS • Sotsiaaldemokraadid • Võrdus • Segamajandus UUSVASAKPOOLSUSE SARNASUSED JA ERINEVUSED UUSPAREMPOOLSUSEGA Sarnasused: • Aktiivse kodaniku ideaal • Suhtumine heaoluriiki Erinevused: • Suhtumine võrdusesse • Suhtumine majandusse • Suhtumine rahvuslusse ISIKLIKUD ARVAMUSED KASUTATUD ALLIKAD • http:// miksike.ee/docs/referaadid2006/ideoloogiad_liis sandre.htm • „Poliitika ja valitsemise alused„ - Mari-Liis Jakobson, Leif Kalev, ... • „Anarhistid“ – Tõnu Trubetsky • https://et
n A B t e h A B = A i Mida saab ütelda hulkade A ja B kohta järgneval viiel juhul ut ehk millisel erijuhtumil / tingimusel iga konkreetne võrdus kehtib : I v ( kuidas peavad A ja B paiknema teineteise suhtes ) A r A B = A A B = A A B = A A B = B A A B u u t
8.Lihtsustada hulgaavaldis: (AC) ( BC) (AC) (A B C)=(AC) (AC) (BC) (ABC)= A (BC) (ABC)= =((AA) (AB) (AC)) (BC)= ( I (AB) (AC)) (BC)= ((AB) (AC)) (BC)= =(A (B C)) (BC)= A ((B C) (BC))= A (B C) 9.Lihtsustada hulgaavaldis: A (CA) (A B C)=A (C A) (A B C)=((AA) (AB) (AC)) (C A)= =(A (AB) (AC)) (C A)= (A (AC)) (C A)= A (C A)= A C 10.Lihtsustada hulgaavaldis: (AB) (BC) (CA) = ( AB) (BC) (CA) = (A B) (BC) (C A) = =(A B) (BC) C A= C A 11. Tõestada võrdus: A (A B) = AB A (A B) = (A (A B)) (A (AB))= A (A B) =A (A B)= A ( A B) = A B= AB 12. Tõestada võrdus: (A B) (C D) = (A C) (B D) (A B) (C D) = (A B) (C D) = ((A B) C) D = ((A C) B) D= (A C) (B D)= =(A C) (B D)= (A C) (B D) 13. Füüsika-Matemaatikateaduskonnas õpivad 84% tudengitest matemaatikat ja 64% füüsikat. Leida 2 hulga Grassmanni valemi abil, kui suur osa õpib samaaegselt mõlemat? A- õpivad matemaatikat B- õpivad füüsikat A= 84 B= 64
Matemaatika 6.klassile 1.Arvuta. 54 310+23 690=78000 450 760+1 564 768=2015528 86,315+4,085=90,400 478,23+56,09=534,32 2.Arvuta komadega. 3,0906:3=1,0302 0,24:8=0,03 8,642:2=4,321 0,7:7=0,1 0,105:5=0,021 12,444:4=3,111 0,14:4=0,035 60,12:3=20,04 3.Kirjutan lünka sellise arvu,et tekiks tõeline võrdus. 200cm=2m 40000mm=40m 3000cm=300dm 70000dm=7km 25000cm=250m 150000cm=1500m 400dm=40m 26000m=26km 900mm=9dm 2000mm=20dm 8000dm=800m 40000dm=4km 4.Pohla pere käis pühapäeval jõhvikal.Mitu kilogrammi jõhvikaid korjas Pohla pere kokku? Marju ja Mait 14kg,Ema 16kg,Isa 16kg. 1)Ema ja isa korjasid kokku 2*16 kg jõhvikaid.
16 kümneline üheline ühekohaline arv 6, 4, 3, 1 kahekohaline arv 10, 18, 36, 49 punkt . + x kõverjoon sirgjoon paarisarv 0; 2; 4; 6; 8 Paarisarvud on arvud, mille üheliste number on 2, 4, 6, 8 või 0. nt: 2, 16, 28, 140, 374 paaritu arv 1; 3; 5;7;9 Paaritud arvud on arvud, mille üheliste number on 1, 3, 5, 7, 9 nt: 3, 11, 79, 265, 967 võrdus 12 + 7= 19 15 10= 5 võrratus 20 > 11 18 < 19 Enne lahutan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 15 7 = 15 5 =10 10 2 = 8 15 7 = 8 Enne liidan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 18 + 6 = 18 + 2 = 20 20 + 4 = 24 18 + 6 = 24 Pikkusühikud 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Raskusühikud 1 t = 1000 kg 1 ts = 100 kg 1 kg = 1000 g
· Sellist summat nimetatakse funktsiooni f(x) integraalsummaks lõigul [a,b] · Kuna suvalise i puhul vastavalt suvaliselt lõigult [x i-1 , xi] kehtib põhimõte, et suurus i on alati suurem kui funktsiooni f(x) sellel lõigul olev minimaalne väärtus (m i) ja väiksem kui sellel lõigul asuv funktsiooni suurim väärtus (Mi) ning kuna kõik xi väärtused on nullist suuremad, siis järelikult kehtib ka võrdus, et mixi f(i)xi Mixi ja võrdus vastavate summade kohta: n n n i =1 m x i =1 f( )x i =1 M x i i i i i i f(x) integraalne f(x) f(x) integraalne alamsumma integraalsumma ülemsumma
.. + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , kus x1 = c1 , x2 = c2 , ... , xn = cn .
Tähistame väljaheidetud gaaside massi m, aga raketi massi pärast gaaside kulutamist M. Sellisel juhul võib suletud süsteemi "rakett-gaasid" puhul impulsi jäävuse seaduse põhjal kirjutada (analoogiliselt ülesandega suurtükist tulistamise kohta) valemi: , kus V on raketi kiirus pärast gaaside väljalendamist. Siinjuures eeldati, et raketi algkiirus võrdus nulliga. Saadud raketi kiiruse valem kehtib üksnes tingimusel, et kogu põlenud kütuse mass heidetakse raketist välja hetkelt. Tegelikkuses aga voolavad gaasid välja järk-järgult kogu raketi kiireneva liikumise jooksul. Iga järgnev gaasikogus heidetakse välja raketist, mis on juba omandanud teatud kiiruse. Täpse valemi saamiseks tuleb gaasi väljavoolamist raketi düüsist vaadelda märksa üksikasjalikumalt. Olgu raketil ajahetkel t mass M ning liikugu rakett kiirusega (joon
'' Kuningas Aleksander Suure kiirkäskjalg ja Aasia sammudega mõõtja Philonides Zoitosest, Kreekast pärineva Chersonasose poeg, on selle ( tahvli ) olümpialikule Zeusile pühendanud. '' Mida tähendab sammudega mõõtja? Siit selgub käskjalgade huvitav lisakohus. Ühest kohast teise liikudes pidid nad lugema ka oma jooksusamme. Laialt levinud pikkusühikuks oli roomlaste '' passus '' ( samm ). 1000 passust aga võrdus ühe rooma miiliga. Veel tänapäevalgi võib leida Apenniini poolsaare vanadel teedel miilikive, hemero- dromoste kunagiste geodeetiliste katsetuste tummi tunnistajaid. Päris tummad need kivirügad siiski ei ole. Tänu nendele saadi teada '' passuse '' keskmine pikkus. See võrdus 1 meetri ja 47.9 sentimeetriga. Võib lisada veel, et arstiteaduse isa Hippokrates armastas mõnikord määrata haigetele jooksuravi ja filosoof Platon visandas nn
Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine;
tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def: Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus: dF ( x) = f ( x) dxfunktsioon saab olla mingile Definitsioon ütleb, et mingi ehk teisele F'(x) =funktsioonile f(x) algfunktsiooniks vaid, juhul, kui tema tuletis on täpselt sama kujuga, kui see teine funktsioon. Selline sõnastusviis on
73. Risttahukas püstprisma, mille põhjad on ristkülikud. 74. Romb võrdsete külgedega rööpkülik. 75. Ruut 1. võrdsete külgedega ristkülik. 2. arvu teine aste. 76. Ruutfunktsioon funktsioon y=ax2+bx+c. 77. Ruutkolmliige avaldis kujul ax2+bx+c, kus a, b ja c on antud arvud ja x on muutuja. 78. Ruutvõrrand võrrand ax2+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud ja x tundmatu. 79. Rööpkülik paralleelsete vastaskülgedega nelinurk. 80. Samasus võrdus, mis kehtib temas esinevate muutujate mistahes väärtuste korral. 81. Samaväärsed võrrandid võrrandid, millel on kas samad lahendid või millel lahendid puuduvad. 82. Sarnased hulknurgad hulknurgad, mille vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed on võrdelised. 83. Sarnasustegur sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis. Tähis k. 84. Sfäär kera pind. 85. Silinder keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev riskülik. 86
Tom õppiski need ära ja ta sai tuliuue Barlow-noa, ta oli rõõmus aga nuga ei lõiganud midagi. Tom pidi rätikuga hakkama pesema aga ta ei teinud seda märjaks vaid kallas vee maha. Järgmine kord tegi ta rätiku märjaks aga ta ei pesnud ikkagi ilusti. Pärast tõi Mary välja ülikonna mille pidi Tom selga panema, talle see endale ei meeldinud. Kui ta oli riides siis Tom mitte ei teeninud pileteid välja vaid pettis need teistelt välja, piletite eest sai piibli. Kümme sinist piletit võrdus üks punane pilet, kümme punast piletit võrdus üks kollane pilet ja kümne kollase pileti eest sai ühe piibli. Kui kõik hakkasid ennast näitama nagu näiteks Mister Walters näitas end ametlike askelduste ja toimetustega, andes käske ja jagades juhtnööre lootis mister Walters et sa saab ühe piibli jagada ühele imelapsele ja siis, nagu välk keset taevast tuli Tom Sawyer üheksa kollase, üheksa punase ja kümne sinise piletiga. Keegi ei saanud aru et tegu on
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe
6. kl matem (Harilik murd) Hariliku murru mõiste; liht- ja liigmurd; murdude taandamine, laiendamine. Harilik murd 4/7 näitab, et tervik on jaotatud võrdseks osaks, millest on välja valitud osa. Murrujoonel on tähendus. Vali, kas toodud võrdus on tõene või väär: 4 = 1/4 4 = 12/3 4 = 20/5 4 = 4/1 4 = 8/4 Vali välja murrud, mis on võrdsed oma lugejaga: 3/1 1/8 9/3 10/1 Vali välja murrud, mis on võrdsed oma nimetajaga: 4/2 6/6 25/5 1/7 Harilik murd, mille lugeja on nimetajast väiksem, on . Harilik murd, mille lugeja on nimetajast suurem, on .
Vaba aeg on midagi, millest tihti puudust tuntakse. Kurdetakse, et enda jaoks ei jätku enam üldse aega. Kuid siis, kui juhtub tekkima mõni vaba hetk, ei osata sageli midagi ette võtta. Kuidas sisustada vaba aega? Tänapäeval on vaba aja veetmise võimalused võrreldes minevikuga tunduvalt paranenud. Kui varem, näiteks eelmise sajandi alguses, võrdus see küünlavalgel raamatu lugemisega, siis nüüd on erinevaid viise palju rohkem. Raadio, televisioon, Internet, ajakirjad-ajalehed kõik need on kindlustanud, et vabad hetked oleks millegagi täidetud. Vabal ajal tegeletakse enamasti oma hobidega, olgu selleks siis sõbrad, fotograafia või loodus. Oma hobide arendamiseks on loodud mitmeid ringe, kus kohtud inimestega, kellel on sarnased huvialad. Sageli on neis ringides osalemiseks
Kui a on positiivne, siis on sirge esimeses ja kolmandas veerandis, kui a on negatiivne, siis teises ja neljandas. 33. Lineaarfunktsioon ja selle graafik. Lineaarfunktsiooni üldkuju y = ax + b (0,b)(1,a) Graafikuks on sirge. 34. Pöördvõrdeline seos ja selle graafik. a y x Pöördvõrdeline seos, ülkduju • Hüperbool 35. Võrre, võrde põhiomadus, võrdekujuline võrrand. Võrre on tõene võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised (võrdsed). Võrdus on avaldis, mis võib olla tõene või väär. Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. Põhiomadus: Siseliikmete korrutis on võrdne välisliikmete korrutisega. Sisearvude korrutis on võrdne välisarvude korrutisega. 2:2=3:3
3 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 3) Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsiooni ! nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = ! . Funktsiooni ! nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = -! . Funktsiooni ! nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant ' > 0 nii, et iga korral kehtib võrdus ! + ' = ! . Väikseimat sellist konstanti ' nimetatakse funktsiooni ! perioodiks. Olgu ( funktsiooni ! määramispiirkonna alamhulk. Valmine hulgast ( kaks suvalist arvu ) ja * nii, et kehtib võrratus ) < * . Kui funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja *
Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Paaris- ja paaritud funktsioonid - Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f
100 m liblikujumises aeg 58,13 50 m vabaujumises aeg 24,58 50 m seliliujumises aeg 28,20 Need on ka Eesti rekordid. MILLI(S)TEL OLÜMPIAMÄNGUDEL OSALES: · 2004. a Ateena olümpiamängud · 2008. aasta Pekingi olümpiamängud TULEMUS JA KOHT OLÜMPIAVÕISTLUS(T)EL: Ateena olümpiamängudel saavutas seitsmendas ujumises 3. koha, kaotades esimesena lõpuseinani jõudnud taanlannale Jeanette Ottesenile 0,24 sekundiga. Viimasena tagas edasipääsu 25,68, mis võrdus täpselt tema isikliku rekordiga. 2008. aasta Pekingi olümpiamängudel püstitas ta 100 meetri liblikujumises uueks Eesti rekordiks 59,43. Selle ajaga jäi ta jagama 32.33. kohta. TULEMUSI MUUDELT VÕISTLUSTELT: · 30. juulil 2005. püstitas ta ujumise maailmameistrivõistlustel Montréalis 50 m liblikujumises uue Eesti rekordi 27,31 sekundit ning saavutas sellega 15. koha · 2008
· Funktsiooni f graafiku definitsioon Kui f(x)>0 siis on graafik ülalpool x-telge, kui x<0 siis on graafik allpool x-telge · Funktsioon on ühene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut ainult ühest punktist. · Funktsioon on mitmene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut vähemalt kahest punktist. 3. · Paarisfunktsioon kui iga korral kehtib võrdus · Paaritufunkstioon kui iga korral kehtib võrdus · Perioodiliseks nimetame funktsiooni, kui leidub konstant nii, et iga korral kehtib võrdus Väikseim selline konstant on funktsiooni periood · Kasvav funktsioon kui iga x ja y korral hulgast A, kus , kehtib seos · Kahanev funktsioon kui iga x ja y korral hulgast a, kus kehtib seos · Astmefunktsioon kui funktsioon on kujul ja a on nullist erinev konstantne astendaja.
Sõna "muusika" veel ei eksisteerinud, oli lausumine, loitsmine, sõnumine. Jäljendati looduse hääli, saavutati võin loomade ja inimeste üle. Kes tundis sõnumise kunsti, võrdus jumalaga. Ajapikku lisandus meelelahutuslik pool, seltskondlik pool. Esimesed pillid olid löökpillid ja puhkpillid. Vanades kultuuririikides (Hiina, Egiptus) tekivad esimesed helisüsteemid ja ka keelpillid. Tõeliselt arenes aga muusika vanas kreekas, kus tuli ka sõna kasutusele MUSIKE (muusade kunst). Muusik oli kõrgem olemas, kes valdas mitmeid pille (lüüra, aulos, paani flööt), tegi sõnad ise, võis musitseerida tundide kaupa, peeti isegi muusikutele mängusid.
Kui igale x väärtusele, mis kuulub teatavasse piirkonda, vastab mitte üks, vaid mitu või isegi lõpmatu hulk y väärtusi, siis nimetatakse funktsiooni mitmeseks funktsiooniks. Näide: 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt
Seejärel leitakse tõus ja jätkatakse mööda sirget kuni punktini P2( x2 , y2) . Saadud murdjoont nim Euleri murdjooneks. 3. Eralduvate muutujatega võrrand Esimest järku dif.võr (3.1) On eralduvate muutujatega võrrand, kui avaldised A(x,y) ja B(x,y) tegurduvad nii, et iga tegur sõltub vaid ühest muutujast. , Sel juhul saame üldlahend 4. Homogeenne esimest järgu võrrand Def 4.1 Funktsioon f(x,y) on s-järku homogeenne funktsioon, kui kehtib võrdus (4.1) Kui s=0, siis on see nulljärku homogeenne funktsioon ehk lihtsalt homogeenne funktsioon. (4.1)' Võttes siin k=1/x saame, et homogeenne funktsioon sõltub vaid muutujate suhtest: (4.2) Def 4.2 võrrand (4.2) y'=f(x,y) on homogeenne kui funktsioon f(x,y) on homogeenne. Sõltub ainult suhtest y/x . On lihtne näha, et võrrand on homogeenne, kui A(x,y) ja B(x,y) on sama järku homogeensed. Et homogeenne võrrand (4.2) teisendub kujule (4.2)' , siis teeme teisenduse (4.4) , Siit saame leida
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub
FUNKTSIOONI PIDEVUS Pidevuse mõiste. Katkevuspunktid FUNKTSIOONI PIDEVUSE MÕISTE Funktsiooni pidevuse mõiste Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud tingimus: · Võrdusest lim = () on näha, et funktsiooni pidevus punktis a on iseloomustatud järgmise kolme tingimusega: o f(a), st punkt a peab olema funktsiooni määramispiirkonnast; o lim ; o kehtib võrdus lim = (). · Funktsioon on pidev mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt.
3. Olgu antud ruudu pindala on 36ߨ cm2. Leiame selle ruuduga pindvõrdse ringi ümbritseva ringjoone pikkuse. Kuna ruudu ja ringi pindalad on võrdsed, siis ܵring ൌ 36ߨ ሺcmଶ ሻ. Avaldame ringi pindala valemist raadiuse ruutu: ܵring 36ߨ ݎଶ ൌ ൌ ൌ 36 ሺcmଶ ሻ. ߨ ߨ Sellest, et ݎଶ ൌ 36, järeldame, et ݎൌ 6 ሺcmሻ, kuna kehtib võrdus 6ଶ ൌ 36. Ringjoone pikkus leitakse valemi ܲringjoon ൌ 2ߨ ݎabil: ܲringjoon ൌ 2ߨ ݎൌ 2ߨ · 6 ൌ 12ߨ ൎ 37,68 ሺcmሻ.
Kuigi südames ja hinges hoiame oma kamraade, ei tahaks rindelt lahkuda vaid lihtsa sõdurina. Mäletame kõik oma esimest koolipäeva, see oli rahu enne sõda nagu öeldakse. Esimene õpetaja, kes jagas väikseid õpetusi, kuidas rindel käituda, ellu jääda ja füüsiliselt vastu pidada. Meenub esimene kuuliga pihta saamine ehk põrumine, esimene hommik, kui me sisse magasime. Eredamalt ja värskemalt jääb meile aga meelde gümnaasiumis veedetud aeg, mis võrdus end igapäevaselt lahingväljale paigutamisega. Paljud klassiüritused, tegemised lennuga, kabaree – kõik on meid ainult ühendanud ja muutnud sõja iseenda ja õpingutega meeldejäävaks ja huvitavaks. Tunnid mate klassis möödusid justkui miinipilduja tuld oodates. Eesti keele tunnis kasutati meie peal Gestapo meetodit. Kuid me elasime üle ja tegime kõik, et oma vigadest õppida ja paremad olla.
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem :
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kehtib võrdus Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks.
Kuivõrd maksupoliitika kaudu saab mõjutada majanduselu ja indiviidi toimetulekut? Eesti maksusüsteem on proportsionaalne, samas kaheastmeline. Riigi üheks ülesandeks on kontrollida maksupoliitikat nii, et majandus üle ei kuumeneks ega madalseisu vajuks. Majanduselu mõjutamine maksupoliitika kaudu on üks tõhusamaid meetodeid. Majanduselu ja indiviidi toimetuleku mõjutamiseks on mitmeid mooduseid. Pidevaid vaidlusi põhjustavad tulu- ja käibemaksu tõusud (või langused). Parempoolne ideoloogia pooldab pigem madalamat tulumaksu ja kõrgemat käibemaksu. See tagab riigile kindla sissetuleku ja annab võimaluse erinevate teenuste (toit, ravimid, ka luksuskaubad) näol lisatuluks. Taoline maksupoliitika on sobivam ka eraisikutele, kuna algsest palgast on reaalse sissetuleku protsent suurem. Mida rohkem on indiviididel vaba raha, seda rohkem nad tarbivad. Selline pidev tarbimine võib majanduse ülekuumenemise...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
