3x 2 + 6 x - 297 = 0 / ÷ 3 x 2 + 2 x - 99 = 0 x = -1 ± 1 +99 = -1 ± 100 = -1 ±10 x1 = -11 või x 2 = 9 x1 = -11 ei sobi, x = 9 II arv on x +1 = 9 +1 = 10 ja III arv on x + 2 = 9 +2 = 11 Kontroll: 9² + 10² + 11²= 81 +100 +121 = 302 Vastus: need järjestikused naturaalarvud on 9, 10 ja 11 273 Olgu I arv x, siis II on x +1 ja III on x +2. Saame võrrandi (x +1)² = x(x +2) +1 Lahendus: x² +2x +1 = x² +2x +1 0 = 0 samasus: lahendiks sobib iga täisarv Kontroll: 1) olgu I arv x = -4, II on siis -3 ja III on -2 (-3)² = -4(-2) +1 9 = 8 +1 2) olgu x = 5, siis II arv on x +1 = 6 ja III arv on 7 6² = 5 × 7 +1 36 = 36...
A Klass Paide 2009 1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud. Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel...
Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61...
Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga....
Positiivsed ja negatiivsed arvud Definitsioon Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. Definitsioon Negative arv on arv, mis on viksem kui null. Definitsioon Vastand arvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. Definitsioon Tisarvud on kik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss null. Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et mrata asukoha krgus vi sgavus. Negatiivseid arve kasutatakse vlgade kirja panemisel Vihje Kui arvu ees ei ole mrki, see on positiivne arv. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #1 Kui mrgid on samad, siis ra panne nendele esmalt the. Liida arvude absoluutvrtused ning kirjuta vastusele nende hine mrk. Tisarvude liitmise reeglid...
alati paarisarv; ruut jagub alati arvuga 4; Eeldus. Kaks paarisarvu kahe järjestikuse korrutis jagub alati 8-ga; Väide. Kahe paarisarvu summa on korrutis paaritu arvuga on alati paarisarv paarisarv. Tõestus. 1)tähistada antud paarisarvud: 2n ja 2k, kus n ja k on naturaalarvud 2)nende summa: 2n+2k=2(n+k) 3)korrutamisel arvuga 2 saame alati paarisarvu m.o.t.t. 41.Võrdhaarne kolmnurk - kolmnurga Ül.763 sisenurk ja välisnurk on kõrvunurgad; Kolmnurk ABC võrdhaarne, alus AB alusnurgad on võrdsed; sisenurkade alusnurga kõrvunurk 116° summa on 180°; tipunurga leidmiseks Arvuta tipunurk...
naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega; Ühistegur (ehk ühisjagaja) täisarv, millega jaguvad kõik vaadeldavad täisarvud; Ühiskordne naturaalarv, mis jagub kõigi vaadeldavate naturaalarvudega ; Suurim ühistegur (SÜT) - suurim arv, millega jagub iga antud arv; Väikseim ühistegur (VÜT) väikseim arv, millega jagub iga antud arv; 5 3. Algarvud ja kordarvud Vaatame, missuguste arvudega jaguvad naturaalarvud 1-st 10-ni. 1 jagub 1-ga; 2 jagub 1-ga ja 2-ga; 3 jagub 1-ga ja 3-ga; 4 jagub 1-ga, 2-ga ja 4-ga; 5 jagub 1-ga ja 5-ga; 6 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga ja 6-ga; 7 jagub 1-ga ja 7-ga; 8 jagub 1-ga, 2-ga, 4-ga ja 8-ga; 9 jagub 1-ga, 3-ga ja 9-ga; 10 jagub 1-ga, 2-ga, 5-ga ja 10-ga. Arve, millega antud arv jagub, nimetatakse selle arvu jagajateks. Näeme, et näitena toodud arvudel on erinev arv jagajaid. Arv 1 jaguneb ainult iseendaga, st tal on ainult üks jagaja...
Kirjuta jagatis hariliku murruna. 1) 1 : 3 1 Lahendus: 1 : 3 = 3 2) 5 : 6 5 Lahendus: 5 : 6 = 6 3) 6 : 1 6 Lahendus: 6 : 1 = =6 1 4) 24 : 8 24 Lahendus: 24 : 8 = =3 8 4. Kirjuta naturaalarvud 6 ja 40 vähemalt kahel viisil hariliku murruna. Lahendus: 6 12 18 24 6= ; ; ; 1 2 3 4 40 80 120 160 40 = ; ; ; 1 2 3 4 5. Kirjuta naturaalarv 10 murdudena, mille nimetaja on 1) 2; 20 Lahendus: 10 = 2 2)5; 50 Lahendus: 10 = 5 3) 10; 100 Lahendus: 10 =...
…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} . Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk muutub kinniseks lahutamise suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... vastandarvudega -1, -2, -3, ... . Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...} . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes....
3 x 2 6 x 297 0 / 3 x 2 2 x 99 0 x = -1 1 99 = -1 100 = -1 10 x1 = -11 või x 2 = 9 x1 = -11 ei sobi, x = 9 II arv on x 1 = 9 +1 = 10 ja III arv on x 2 = 9 +2 = 11 Kontroll: 9² + 10² + 11²= 81 +100 +121 = 302 Vastus:need järjestikused naturaalarvud on 9, 10 ja 11 273 Olgu I arv x, siis II on x +1 ja III on x +2. Saame võrrandi (x +1)² = x(x +2) +1 Lahendus: x² +2x +1 = x² +2x +1 0 = 0 samasus: lahendiks sobib iga täisarv Kontroll: 1) olgu I arv x = -4, II on siis -3 ja III on -2 (-3)² = -4(-2) +1 9 = 8 +1 2) olgu x = 5, siis II arv on x +1 = 6 ja III arv on 7 6² = 5 7 +1...
3 x 2 6 x 297 0 / 3 x 2 2 x 99 0 x = -1 1 99 = -1 100 = -1 10 x1 = -11 või x 2 = 9 x1 = -11 ei sobi, x = 9 II arv on x 1 = 9 +1 = 10 ja III arv on x 2 = 9 +2 = 11 Kontroll: 9² + 10² + 11²= 81 +100 +121 = 302 Vastus:need järjestikused naturaalarvud on 9, 10 ja 11 273 Olgu I arv x, siis II on x +1 ja III on x +2. Saame võrrandi (x +1)² = x(x +2) +1 Lahendus: x² +2x +1 = x² +2x +1 0 = 0 samasus: lahendiks sobib iga täisarv Kontroll: 1) olgu I arv x = -4, II on siis -3 ja III on -2 (-3)² = -4(-2) +1 9 = 8 +1 2) olgu x = 5, siis II arv on x +1 = 6 ja III arv on 7 6² = 5 7 +1...